施瓦茨

概括:这道题是靳屑练同学的课后数学练习题,主要是关于施瓦茨,指导老师为荀老师。

题目:施瓦茨

解:

[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]

设x=(x1,x2...xn)

y=(y1,y2...yn)

则[x,y]^2=(x1y1+x2y2+...xnyn)^2

[x,x]*[y,y]=(x1^2+x2^2+...xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)

首先构造方程(x1z-y1)^2+(x2z-y2)^2+...+(xnz-yn)^2=0

z是未知数,其他的是参数.

我们知道这个方程最多只有一个解,这个方程可以改成

(x1^2+x2^2+...xn^2)z^2-2*=(x1y1+x2y2+...xnyn)*z+(y1^2+y2^2+...+yn^2)=0

那么它的Δ<=0

也就是说=4(x1y1+x2y2+...xnyn)^2-4(x1^2+x2^2+...xn^2)(y1^2+y2^2+...+yn^2)<=0

则[x,y]^2 ≤ [x,x]*[y,y]

举一反三

例1: 【柯西-施瓦茨不等式的证明有哪些种】[数学练习题]


思路提示:

可以用二次方程 开口朝上 判别式小于0

例2: 不等式的证明!1.x,y属于R,求证2x的平方-4x+21>2y-(y的平方)2.A=2b的平方-2b+1,B=4ab-4a的平方,a,b属于R,比较A,B的大小3.a>0,b>0,求证:b/根号a-根号a≥根号b-a/根号b根号a分之b减去根号a大于等于根号b减[数学练习题]


思路提示:

1:

令A=2x的平方-4x+21;B=2y-(y的平方)

A-B=2x的平方-4x+21+y的平方-2y=2(x-1)^2+(y-1)^2+18>0;

所以:A-B>0;A>B;

2x的平方-4x+21>2y-(y的平方)

2:

A-B=2b的平方-2b+1-4ab+4a的平方=(2a-b)^2+(b-1)^2>=0;

所以A大于等于B,当且仅当b=1,a=1/2时相等;

3:

b/√a-√a=(b-a)/√a

√b-a/√b=(b-a)/√b;

如果条件是a>b>0;

则b/√a-√a>√b-a/√b;

否则,命题错误

例3: 不等式的证明.急1.a>0,b>0且a+b=1,求证1/(a+1)+1/(b+1)0,b>0,求证:(a^2+b^2)/√ab≥a+b[数学练习题]


思路提示:

1) a>0,b>0 ab>0 1/(a +1) +1/(b+ 1)=(a+b+2)/(ab+a+b+1)=3/(2+ab)0,b>0 a+b>2√ab, (a^2+b^2)/(a+b)=a+b-2ab/a+b≥2√ab-2ab/(2√ab)=√ab (a^2+b^2)/√ab≥a+b

例4: 【几个不等式的证明1.已知a,b,c∈R+,且a,b,c不全相等,求证:a&sup2;/b+b&sup2;/c+c&sup2;/a>a+b+c2.已知a+b+c=0,求证:ab+bc+ca≤0】[数学练习题]


思路提示:

基本不等式知道吧 a+b>=2√ab

1.由于

a²/b +b≥2a

b²/c +c≥2b

c²/a +a≥2c

上面3式相加得

a²/b+b+b²/c+c+c²/a+a≥2a+2b+2c

(a²/b+b²/c+c²/a)+(a+b+c)≥2(a+b+c)

所以 a²/b+b²/c+c²/a≥a+b+c

2.

由a+b+c=0得:(a+b+c)^2=0即:A的平方+B的平方+C的平方+2AC+2BC+2AC=0

所以2AC+2BC+2AC=-(A的平方+B的平方+C的平方)≤0

所以:AC+BC+AC≤0

祝您学习愉快

例5: 不等式的证明求证:根号下(a^2+b^2)+根号下(b^2+c^2)+根号下(c^2+a^2)≥根号下2(a+b+c)..不等式右边是√2乘以(a+b+c)[数学练习题]


思路提示:

a^2 + b^2 >= (a + b)^2 / 2

而 a > 0,b > 0

所以:√(a^2 + b^2) >= (a + b) / (√2)

同理:

√(b^2 + c^2) >= (b + c) / (√2)

√(a^2 + c^2) >= (a + c) / (√2)

三式相加,得:

√(a^2 + b^2) + √(b^2 + c^2) + √(a^2 + b^2)

>= 2(a + b + c) / (√2)

= (√2) * (a + b + c)

取等号的条件是 a = b = c

相关思考练习题:

题1:定积分。证明施瓦茨不等式

点拨:∫(f+λg)²dx=λ²∫g²dx +2λ∫fgdx+∫f²dx ≥0 因此, (∫fgdx)²≥∫f²dx ∫g²dx

题2:中国两次获得施瓦茨奖都分别是在哪一年什么原因获得的

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题3:奇迹世界2扭曲的施瓦茨之心哪里来?

点拨:密室

题4:罗德与施瓦茨和安捷伦哪个更好?

点拨:不分伯仲吧,各有各的优势,RS的价格更加亲民些,服务业相对及时点。

题5:施瓦茨58号实验车和58号M型除涂装外的区别在哪里?

点拨:你好,没有什么区别,数据是一样的,获得方式和外观的细小差别